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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 l ;)0yoJ  
j^"&~~myTw  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ;!`79x8  
)1Xfpt|X=/  
　　1、三角函数本质： SZRlnNN  
.D4^<gf-&  
　　三角函数的本质来源于定义 tI* <[,  
z,U^+  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ?+`)3 *8  
)jA Z74  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 +/KBU\  
;_]d7Fj  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： )UhuIpi  
FDwd~7ro]D  
　　推导： -WkwXr[  
I;W+xV.  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 D5+hLA_Gc  
G s(No<O  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) %Rl,pO%  
0a: }BT\  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) WZ|ATG,G  
=lxY-d;  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ;{ 6%kn  
O/3P8 G$ r  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Q^zPCC  
}%0>bx9j  
　　[1] m [etC{  
dl Z`p_F  
　　两角和公式 3g2eBa;  
52cQN#-`Aa  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB <Cal@0xJ  
}uis4=W:{  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  9N5>jy  
:t{|bmM26  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB U4JL]%g  
%\fx<:prP  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 5x8bzdOO  
JZ<NhlL?  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) <3CGv0KF  
TVb>  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) :_8Qb;<S  
@:;f<  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  BBfmO} @4y  
Y43ZTakN  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 2tFqF}?lJ  
6XM;WC;K\  
倍角公式 ^ts`zt&   
5O.}~7  
　　Sin2A=2SinA•CosA ;"bnE`Uh  
N8YDA)\  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 U9d9  
"/yja)y'z  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） :+l -}*d  
x{r5+TXr  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） z$L,bv"  
M zDLx%  
三倍角公式 T(P ~Im=6  
C,u;-K%  
　　 lvj`wh  
`;Bu7{;m  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Z1nYZ'$  
'M gq  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) q\i~p1  
a ^1)l  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) hl*I")Pz  
~NbGqc  
三倍角公式推导  KKu[T-  
$ X5uZxhk  
　　sin3a ?^7%W7$V  
F=XotThD  
　　=sin(2a+a) mzT3')i2@  
^Z,'~u~m  
　　=sin2acosa+cos2asina XL#lY4)Un  
/<`a'wFn  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ?c|0  
X`j/9"?K}  
　　=3sina-4sin³a (#6:?  
w !=\  
　　cos3a KBe:4  
:Jf: ro2  
　　=cos(2a+a) uU@ O  
r4!x A/Z  
　　=cos2acosa-sin2asina >@(l}t1  
X&9M`?)>  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa `$k]8Y  
yep*qGG  
　　=4cos³a-3cosa aDb"RA3Fw  
n$%3V M$  
　　sin3a=3sina-4sin³a V*}G{H;=;  
:m,Ezc@7  
　　=4sina(3/4-sin²a) gM;^h8~  
v&Ftpw  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 4/FS2jv{  
!P*t4R}>  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) QSnZLWGcY  
<&[j#> t  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) &xbRE!!:M  
<DZ;0xR  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] n OL:zY  
2A}&?  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Y^@hAF>9  
ztV-3R+  
　　cos3a=4cos³a-3cosa .JO2If%. &  
oJhTm#m  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 7|rK  
c  /<d  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 8p`t#"$6  
N\A(ewm#y  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) @dU3su\@  
@y(rG.`*q  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 5v Z4uk z[  
iz@4 [J|  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} mAJhT9Ooea  
.(PGH\9Z  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) v**aW  
{ADC sz Z.  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] '#dZU^V<  
(l4r ]%  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Puz=!  
D3o+N%O^|y  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 0iw(T>C  
.qGo7 ;?]  
　　上述两式相比可得 S,JV,V8{  
Y7\rw   
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) l!,&z4"  
`*0ng;6#SI  
半角公式 9~hfU:K_  
TN}j;PWG  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ;O':f`A  
5B<,^v   
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ;w>mF=.1w'  
FtS1"u?(9  
和差化积 m4XgA2=  
|>abmZb T  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] R ,>0kK=  
)OOg6B=M+  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] dp -d%  
%5am+2L  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] d vi6I^4a  
qx& D#:D:{  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] eoL/;1OqH  
?"P6<..z  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) eiy<&}*j  
z)#YT{@:l  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) j.a~siI-  
^tNjHm7u;  
积化和差 S PEYY%s!  
&sbT><p)  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] vdLll3d>h  
2VH!k  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] HSk&5,vJx  
|93= $E  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] !(^FX%|M  
-=: p)!bp  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ^(N]b=-(JK  
q X{3%44c  
诱导公式 (o~vt7s;H  
G \:eBS)  
　　sin(-α) = -sinα G hpd70i  
K-|!%]  
　　cos(-α) = cosα krwq)!.l  
lCgJYf!x/  
　　sin(π/2-α) = cosα R\Z^gWf  
R+M1D!)S,  
　　cos(π/2-α) = sinα kMV{!Zr?  
E0%ZFylBA  
　　sin(π/2+α) = cosα uk;&t@u95A  
7+T #GT  
　　cos(π/2+α) = -sinα Yo !Xl*(*  
k9D2wOS|gX  
　　sin(π-α) = sinα iT[e!$;f w  
VuSB1^S  
　　cos(π-α) = -cosα <[3| dUY  
85##|l,E  
　　sin(π+α) = -sinα {@fpU(  
D,>,z'~ V?  
　　cos(π+α) = -cosα F fB\)m3  
DT~jr$'  
　　tanA= sinA/cosA u1B))A%-t  
uFm6ja<,F  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα OJ*RC  
{:Q(cs~~d  
　　tan（π/2－α）＝cotα ~3?x:?Z  
X(`y3@zFZ  
　　tan（π－α）＝－tanα (B2Qixy  
jJ6\";Zd  
　　tan（π＋α）＝tanα ?c@+yY8  
_ J:CV'L+  
万能公式 5oFb~;\l  
e6u}YP]H  
　　 -7]dI/=  
"8} |DfR  
其它公式 7 G2rD"  
%RTL=/2r  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 gPq=V8  
 .cZvT_W  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 2)urbBbhF  
^mQY4g  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 3|=m4rS5  
go1Vw[aQx  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 '~3B `MVK  
mNS?"&FAR  
　　对于任意非直角三角形,总有 #WHHk|u=MP  
KP jYJ6K`  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC b#ocgzQ  
(5(1'fsF  
　　证: Kz#6k<-  
~.|WB+APl  
　　A+B=π-C 7L=TbR$kf  
L 0=je  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Pw/~ B<l/  
3_/d'?%&?  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) vpvt!,t  
rm._t/-}%W  
　　整理可得 fZ+YN>s E  
h2Y+{)"  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC p4YM<Q;  
QO83Cgxs  
　　得证 6HXoiv+q  
 v/OyatF  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 g"oL6  
W4Cnlup4  
其他非重点三角函数 A l#o@&  
hb?/}4j  
　　csc(a) = 1/sin(a) "Ggg*zk6o  
Fic`[Hj"  
　　sec(a) = 1/cos(a) n-;8{T>U&<  
>PPklmE  
　　 B1@O(ECi-V  
qDP8E$rs  
双曲函数 x;>s  
ID}|\ d  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 F,_v=X5  
GL `  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2  vrGxfK  
tT)7(7US  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Mby@\ZA h  
Xh>f9[~x  
　　公式一： Gz|ZHf'KT  
P!)3[kl  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Bzq"k=; H  
: \W;\t1'  
　　sin（2kπ＋α）= sinα s=,&1F  
xGP9JFiWs  
　　cos（2kπ＋α）= cosα O>+ iW `  
|A\Y +3sBQ  
　　tan（kπ＋α）= tanα ?kg Nix TJ  
BUs@qz  
　　cot（kπ＋α）= cotα |o *v+Utf  
gK g.N`+5  
　　公式二： X#C6Qtp  
878o\\B(k  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： h PL&UeO  
Hq)W|]M  
　　sin（π＋α）= -sinα &b<0M )m~  
Y*eJFUFL@0  
　　cos（π＋α）= -cosα d!gM2KVg/  
w Y9G-  
　　tan（π＋α）= tanα E )l/5^  
?8Vfwm2a$  
　　cot（π＋α）= cotα +H:b\I5M  
L6A+h[M  
　　公式三： ,Q}/U>{"QU  
[$oTwn  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： DbP{]u'YQ  
e^n<~au  
　　sin（-α）= -sinα ^XD+/~b  
`GQ3CsEQ  
　　cos（-α）= cosα =bu6Y  
F-V E"6!h  
　　tan（-α）= -tanα hSwAY^OB  
#2%%E!=|&  
　　cot（-α）= -cotα `{n{Cy\  
EKYNpSoN  
　　公式四： qG#C_ef  
@ty=c:TO  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： GK9 ~0i W  
(I ^D Cge  
　　sin（π-α）= sinα Ue 2[YdD  
7j84hWm  
　　cos（π-α）= -cosα {Uzf!MjD  
IM'< MH  
　　tan（π-α）= -tanα t]qR+]Bwz  
L|:v7:E7  
　　cot（π-α）= -cotα N<e(Y ITp  
"cDv Y -[  
　　公式五： (.Ar-6O}  
zcu`?VC  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： -GhTCPExo  
Rur 6L  
　　sin（2π-α）= -sinα ucXX @S  
+xq D%h?  
　　cos（2π-α）= cosα 3qHO&8g  
6k"}!^  
　　tan（2π-α）= -tanα `>oP 3r~  
C 6! I  
　　cot（2π-α）= -cotα P |g^  
qT:W]4BU  
　　公式六： PN 6-JHwQ  
eY2r%(w  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： dXJ4vqV  
?#w~qI|:  
　　sin（π/2+α）= cosα Blgt~b  
A  $k*r  
　　cos（π/2+α）= -sinα +9L cB  
pI`gxbe{f  
　　tan（π/2+α）= -cotα zPwA!(wVn|  
W<wkt+.fWR  
　　cot（π/2+α）= -tanα m BZ:/  
^ymS  
　　sin（π/2-α）= cosα OVjttd.o  
^ ZwN  
　　cos（π/2-α）= sinα fj}XsbEY  
&cD sw>  
　　tan（π/2-α）= cotα ^{ \(nZf  
T%sn$kZ  
　　cot（π/2-α）= tanα )MYK;x$  
a)!}fTjG*  
　　sin（3π/2+α）= -cosα fh;)K;u, O  
&K=(I,d=  
　　cos（3π/2+α）= sinα 4W- FZv  
{J=-mC`{^  
　　tan（3π/2+α）= -cotα `m B@?fY  
uDo6 nl#  
　　cot（3π/2+α）= -tanα !mA >  
"0H;Yx;1  
　　sin（3π/2-α）= -cosα n'"2 *  
"".Fl  
　　cos（3π/2-α）= -sinα a={ 5J7t6  
<*hH1.b<~  
　　tan（3π/2-α）= cotα Imv,gI<  
8(>RLj.  
　　cot（3π/2-α）= tanα Vbs`:>#w  
l(7=W%/F!  
　　(以上k∈Z) f57JN_>]  
:f7Buva)  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 r5oKSJ  
8C8h2!+  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = pADmYbh  
'+VRsSAb  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } O \qb.  
 ~["MK%`  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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