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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 %X|\)  
o6Q 8  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Lf9,u0]  
Z "V]/f  
　　1、三角函数本质： xS uz4  
sj.hh#  
　　三角函数的本质来源于定义 @wC)cs4  
#@7B2mG  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 qx"2bI0  
q/e{]3#6  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 \WszlS+(}=  
c O^Lzv  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： mCoq#j$  
T]=yS;3  
　　推导： VHzhBW^?s  
FHLF#:|  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Ds75hx$  
tLXY, _  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) !Wo}S[ju  
F.h7qQI'C:  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) J/. /v3p  
,V.`ct%}P  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2  !tKNyi  
'|J)WiYe  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） %,Q>V  
L'[0 "$,  
　　[1] nL\%O p  
$+ ^0jlUu~  
　　两角和公式 <=A=.|lhj  
.uDrze%U  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB zn|m~\#'  
7=#A_)$u  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  .g\ I3-*  
w<Mgd]Ve  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB %Xz-C;  
=9q&Y]`(S%  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB cC`-  
Rr4dk`M  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) :P$ 5n]O  
%fmTd|@lJ  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) {sxsG.Ut  
~%9lAS  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ZnK0Rk{m  
{Q}(yrf  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) u'V+n)EF  
m'9 18NY  
倍角公式 >4 Iwa$x+  
pJ N\d3  
　　Sin2A=2SinA•CosA ^%U/|f  
FoHp0PHA  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 `1H#"oc  
]Z{m$FObH<  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） -yq9Q^F>P<  
|J>A{&  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） @\'IOV*2  
B[$ewiir  
三倍角公式 Re8q|$5wM  
{oX P![  
　　 !r7C4|  
b~_;r=}w  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) %?6zB?`  
'9\,%,E  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ~:\|R'X  
8x%4lCg<c  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) (VSPTfLWm  
l l_G D  
三倍角公式推导 !] K`:+  
A4: ~]>  
　　sin3a `+;0[{P-  
^[;&LMC  
　　=sin(2a+a) ;R|bc0mVL  
(MBE1pX  
　　=sin2acosa+cos2asina bg,=7GM!T  
^ o2Oo  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 0D1|T.D*X  
X3~:F(1D  
　　=3sina-4sin³a 2ht Y#J "  
c0~ Mkd#  
　　cos3a /`^uJ5+=  
T0w}w}  
　　=cos(2a+a) WV>XeDL  
Sai r -  
　　=cos2acosa-sin2asina [R8yQ2N4L  
+t j x5Z  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa M*1Y2n>Fy  
h#5~bK{8d+  
　　=4cos³a-3cosa ~4k,< }:n!  
I <I]z s[i  
　　sin3a=3sina-4sin³a /DezRmXw  
AcM:?X_\B  
　　=4sina(3/4-sin²a) CWv awNK/  
r;#SZa\^  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] &lh5yw1*8T  
b>WG73|  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) `t +{; 8  
k an{SW  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) #$<kn;q  
}IOc~!  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 10$cR  
=r+|0zme  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) !rlW$  
{"""sXh<?  
　　cos3a=4cos³a-3cosa rA>; SNF  
VLp AWq  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 2=s0Zp  
`$$jZ*i^  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] >GIXdHX  
cYI<_L0r=  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) i]NjM  
EiGU)A;}s  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) sM4NNUy h  
| n1Cq;  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} BX/1t0W  
Y6Z$bC   
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ]SDN&_jTu  
-93 hvvx&  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] aps+9vp;  
QR@m!8  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] O>96O<k0b  
mZ&@LCwp  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) BXRxhf  
jKl) d Z  
　　上述两式相比可得 @v<A  
`(VKD9:az  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) @e5% {k  
w}rv(]N  
半角公式 NxC'bav  
Mw""vWy"  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); U7nKrVu  
4 *5-  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. +R6y?_  
_s *SdV|  
和差化积 ;L7KNqVs]W  
@EXsFP@-  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] &Y@7K]D 1C  
RKGZZ5W  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 9=.K7  
rn=33vELD  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] @C|*]>$K_H  
Sp c*R4t  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] )$ ([{I  
J#MZY1  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) r25-M ]  
I|P 3:G!`  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) AS+ofdhA  
c )#G6~  
积化和差 ,.!DX1}/b  
>hMjxW`  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ~h#_{`-J  
k`v2<* 3  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] C[~ ^U=w  
!s{-CAmW  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] fY"|1Nd  
4xg:J)  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ngHz\2 9.  
"ZOS4 2|  
诱导公式 xzrrUy?hv  
&L YZ#AK  
　　sin(-α) = -sinα =I/z.;NX  
Y,6m f6q  
　　cos(-α) = cosα 6eD1,(qik  
7# pTz3  
　　sin(π/2-α) = cosα $~y rz<F  
mvS\fN  
　　cos(π/2-α) = sinα 3'NR;):Xx  
d3^AH5$}  
　　sin(π/2+α) = cosα M2GxK==%r  
?>Nk;J  
　　cos(π/2+α) = -sinα Hu[Z-#-  
XJxlU kt  
　　sin(π-α) = sinα 4v; `%|wo  
o8*! 3  
　　cos(π-α) = -cosα l8Y4-:S/  
G{A|#  
　　sin(π+α) = -sinα !Hd n  
JL>Mxo R  
　　cos(π+α) = -cosα `4%ZZHO  
OQ)td Rnx  
　　tanA= sinA/cosA %pf r*c  
3eFh#1X  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα G-|M3T  
hI}O/9KZG  
　　tan（π/2－α）＝cotα H"=Z&7  
o(&upWJN  
　　tan（π－α）＝－tanα |HtN{F  
A9}3VM,  
　　tan（π＋α）＝tanα X%i ig"  
]aM |:%i  
万能公式 <N[Mg#d  
. 95I  
　　 r/>3*Tl~  
=x,1@! 3s  
其它公式 uJpL<<>R4  
IXGFX!1  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Mbc@? SI  
?H=<jYzY  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 =g>YY-  
x \lA\bO  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 OV~%P8Z<t!  
q07AUs  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 E$Pmr4wTp  
Sr> lW;7k  
　　对于任意非直角三角形,总有 i~D" fuOr  
m5(`,gAe  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC S5/0Q8pU5  
^h05xl  
　　证:  <RL)qd  
v%e&E%  
　　A+B=π-C IV$B&DN5  
 %A67*?  
　　tan(A+B)=tan(π-C) |U(Fz-I^  
$|EJ E:  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 5>A:8>dK  
JuC_Ws)H  
　　整理可得 NFU]BL|F  
dLi:X*]?t{  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC %];^E~u  
@2N 6EC]iO  
　　得证 p8.h(5Te  
YPa<;sH  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 pc9bsbmF_,  
{Qb{1M0  
其他非重点三角函数 g&n$=4L[  
y1T,kLEfk  
　　csc(a) = 1/sin(a) :2NvWEK  
/S+ +YX>  
　　sec(a) = 1/cos(a) u#$P{A  
PpJO%bw$  
　　 _uxK8  
85k^}#i  
双曲函数 *BYl.H<;tA  
Cgy%VFx  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 `_4[s?f   
|eg"/ 9t  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tY!CCj0  
{:}dc&L^  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) M73L:(  
yF KUXai  
　　公式一： CKb1u|VI  
ZShP6J{vn  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： M% 4qb;`  
dI`$#u]T  
　　sin（2kπ＋α）= sinα P#^m_^[uy)  
bb0% %<  
　　cos（2kπ＋α）= cosα irv=:20:g  
f' _jXjC  
　　tan（kπ＋α）= tanα 4Jeq9#   
m`y2I*j lY  
　　cot（kπ＋α）= cotα F[N>m t  
='$M} .C  
　　公式二： FYZ))K<@  
~gnuT,PT  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ?W /B>-CN  
'p*\rka  
　　sin（π＋α）= -sinα _?%uX`MC$?  
mbyP*f!=  
　　cos（π＋α）= -cosα 7rt cv6QZ  
*gYMz(   
　　tan（π＋α）= tanα h#CGG zN]  
 Z#A+(M  
　　cot（π＋α）= cotα |Mk,a0Z<  
ItEJ~GJ  
　　公式三： .]qeCC-  
kYaC+f  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： lrN!B)  
myOz]APF  
　　sin（-α）= -sinα B[kT':i@  
1 xhY{gv  
　　cos（-α）= cosα 5Uc`lqQ GT  
v"m"(  
　　tan（-α）= -tanα sH}z<M2B3  
SF&=NGNT;  
　　cot（-α）= -cotα 97_d Z$e  
X6s\'bI-  
　　公式四： w$Djl8C  
lWyxz!  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Z,{"JV  
eu&?,*SX  
　　sin（π-α）= sinα _W*?   
`8{!9 rC  
　　cos（π-α）= -cosα QGZ{(U J  
AL6~aN.y  
　　tan（π-α）= -tanα `^tJ VO  
KN'N[5T.P  
　　cot（π-α）= -cotα -G\Vb8]\5  
tQg1}Q5  
　　公式五： l9ZeZX">ql  
z4cUHwa  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： k uY  
E>Udp{9sa  
　　sin（2π-α）= -sinα E lNd=n  
o#n iq';p  
　　cos（2π-α）= cosα :dQf~.Ru  
,Xq7T5t {  
　　tan（2π-α）= -tanα w7:NcjFo  
b L> S1  
　　cot（2π-α）= -cotα mUqz@uw3  
3q@Qh<n~B  
　　公式六： IAq`U>4  
hC$"[  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： v(Ymv%|Qq{  
"S=c:m  
　　sin（π/2+α）= cosα Wi>^ J7ZWu  
A-]EM^5-*  
　　cos（π/2+α）= -sinα $ N{UI0V  
~>;>I,C  
　　tan（π/2+α）= -cotα &E`}F  
WbZJ nRx  
　　cot（π/2+α）= -tanα {E/$ZjJ  
Blw}%d  
　　sin（π/2-α）= cosα i5_&O 9  
`_,q Y6)u  
　　cos（π/2-α）= sinα xF&%  !  
rp,^{)3o  
　　tan（π/2-α）= cotα @.!1?,&O  
:$*BSkt-b  
　　cot（π/2-α）= tanα |gs7 OAF"  
s2FJ"  
　　sin（3π/2+α）= -cosα .4OSf*  
',u[*AxfD/  
　　cos（3π/2+α）= sinα f[06zEB]  
9sGk}Q (|  
　　tan（3π/2+α）= -cotα :K|O1`5%c  
-zU6-Z;R  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ->gBM#)]  
W)E o(4  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Nh.D!K 0  
3Gx?h&6  
　　cos（3π/2-α）= -sinα A=Oi wA.t  
t*n@zcSR  
　　tan（3π/2-α）= cotα Ck.2^C%j  
>F`::H  
　　cot（3π/2-α）= tanα xlQtu9XV&t  
^DJUsu  
　　(以上k∈Z) ?RkDV"Vz@_  
R_s`x$<  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 i/P3"uak[  
fX*6RU5  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = #}lc  
KLTP9]fg  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } <@P5 zkT  
}1G+lKJao  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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