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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 jHrn! L  
~K$1)#Pm  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. \eX"S1=  
(.Z|ZsN  
　　1、三角函数本质： LmA gRE"K  
&iu5Hf4  
　　三角函数的本质来源于定义 q@xI^BLL  
f,>-5v  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Am/}H(  
k!o9 HQ$3  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 1{ 8w&Jq  
1lP UY8  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 4dx,S4R.n  
eZ$d9'7 )  
　　推导： T2A\b];  
K_q?{Gs  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 3 i_mq!  
hP#q. !  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) A>+} uHe$  
"o9o7A_  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) }7 M>]'*z  
8o5a9L n  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 kp@X?r?O  
b8DgjId7z  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） M.G>o.$}  
\%@>7V^h  
　　[1] 7'ar8VpNr  
[-!JRNeS  
　　两角和公式 kKU2xwJ*  
v6>8F;7z}  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 'Q>%d3gBX  
N9:ydo  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  l]i9 hAC  
|BR_eUJ  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB A*sy_K  
%cF o  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB BnK* xm  
'Ia^AjX  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ;A$6q{c  
{C@OuZnm  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) HfU q)N?;  
^9]dTE$  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ?(A}RCm^cp  
/I.j`T%I  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) R)tjRt Ub  
03ZGv`,  
倍角公式 )Kcw'u  
_Z5<yH.e [  
　　Sin2A=2SinA•CosA P *"Yq*I  
@aV5e-9p2  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 M=[J[[  
SSg~@[.:  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2）  kvI&w#  
$z\6r.fW[m  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） +|7liZ  
he&hCe)|(  
三倍角公式 C|;KhFyrI  
mXp:Jn  
　　 Bl\4 E X  
 eXXHqLZ  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) PwM.l1V  
-0!vyjR  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) #bX[Xw   
vIt!H\  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) C7~30\  
a{ xxXO  
三倍角公式推导 7_@*:d  
?M')b#  
　　sin3a :|dxI_SJ)  
{z4J4P 7  
　　=sin(2a+a) dq=bDY!b7  
6U{X1i-<D  
　　=sin2acosa+cos2asina )<Bne;S]k<  
1p pZc)3  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina z,Cx5-?iE{  
JiQ t -  
　　=3sina-4sin³a <g0=p?  
!n@aFkc  
　　cos3a `NMx{xF`  
`1s-[W"D  
　　=cos(2a+a) R(Jm ;{?  
"\DZyS@+^  
　　=cos2acosa-sin2asina |8QTo)|N<  
*.0iyNwu  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa cY%-Vqh=K  
*I6hg/I7W  
　　=4cos³a-3cosa V .sCORW  
>Wi}Qb<G  
　　sin3a=3sina-4sin³a ptz@uN'XA  
g \Y^%Y;Z  
　　=4sina(3/4-sin²a) # X,~9:  
F!MPEZ["k  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] jvfxs<j P  
>IUpa2]  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) &UMU>p7Z  
W(xP;h:2z{  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) lv2qTQY  
AoM-_r  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] -X@e:SVA  
H.8'-Q  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) |YRSgKH  
DrViVn%ss  
　　cos3a=4cos³a-3cosa pY/aOo'0  
e @O1qVu;j  
　　=4cosa(cos²a-3/4) v.o-R +5  
6+]0SPE  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] TQ/| d  
8BRH-~mU  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) }l=vF h  
Y)4@Ju "5  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ^uo e1m   
PR,Qn&nF3  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} `*W{;v<  
M_s , %-  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) r@0@PC-G  
_eyV@Y9Vx  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] fyib4$uH\  
"-d}U9[  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 73%fd^o$7w  
:%sfd 4M  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) lW(X$3*w  
| \%ffvW=K  
　　上述两式相比可得 OQ88fxZ  
|#^./<|("  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) np \T!  
Q@Z-O^"  
半角公式 j| ;m}r p3  
+X:) K}  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);  W^2u:  
@syIL }y  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 6Pyx& N  
J[0c5*q1v  
和差化积 ,0aVKWk  
O'! (KQU;  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \=,.Wo  
U&5cv5  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] &N1'Hm^  
nZh) $v  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 0 !&J"(KxT  
,ah@KTu[  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] kCd4:=>^  
K{eWM98  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) JM6jp}  
-Y( exj  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) DsqKLu  
C3oxc W  
积化和差 "^^l E  
h1dtYP68  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 30. .#IOw  
Z59jV}!  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] z'! g9UsO  
%&E<V`/  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] d[CvBU]@2  
|eX*OV  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] `. ]#l&J  
7q'2s;q  
诱导公式 %`9U0[ |{  
q[O_No1  
　　sin(-α) = -sinα |F$qw H  
Y |V=%B7  
　　cos(-α) = cosα A%DJQJPA  
b= l<UD   
　　sin(π/2-α) = cosα ; y;jwhy  
b$J q=  
　　cos(π/2-α) = sinα /N Ty0Q  
^a~`&e,  
　　sin(π/2+α) = cosα W{ZOW=LW  
/p4/~*6z0!  
　　cos(π/2+α) = -sinα WDC&d^j  
VX7cbMJ<(  
　　sin(π-α) = sinα yZ cBQ$MR  
lLRC$/UZ  
　　cos(π-α) = -cosα /H_%)-_;  
*#h|Ta6+2  
　　sin(π+α) = -sinα *pxP?!3V  
4''R<t'  
　　cos(π+α) = -cosα X2 ]LzGbC  
oazN z  
　　tanA= sinA/cosA hJ%.dLd5U  
R (99;I}x  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ~+bE/.vb+  
fNwJN6 @w  
　　tan（π/2－α）＝cotα }`` KeKZ  
Fe9!_;&?@  
　　tan（π－α）＝－tanα ~F4 rcoCX  
#6pnTLF;:  
　　tan（π＋α）＝tanα Y|=H;R8u  
8}I__1J/  
万能公式 nIVaD-:Kq  
@U+g[K  
　　 4<}%fU,3Y|  
sq_:'GN  
其它公式 ZK2U7'[Lc  
<RVrB9z  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 nL?%Zd_As#  
[&%+!(4  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 L(1)vV  
2~](&`daj  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 6ntLVkfMS  
GyT=,f#E  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 uGeE)C*  
P ]}Mx]::  
　　对于任意非直角三角形,总有 kX9e:M  
s 'B1KMmM  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC )np5Wg` %O  
(<8WS LK  
　　证: cwDso#!(  
\>6z oz  
　　A+B=π-C 4NL:`moY  
1I0 )/ j  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Q<qA/*@  
E#>x\Q^kA  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) o`QEbY^/  
1_fP fqv  
　　整理可得 so KTAeI  
#phG>ZXG  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 9v"}=^3Zf  
'X^"tkYz  
　　得证 h 5 :A  
.W8VU8)  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 !T[rJR|  
&kfh{9 _fc  
其他非重点三角函数 orCnVK]!j  
x#= !  
　　csc(a) = 1/sin(a) 1@*{-}Dkq}  
A^l/ ab  
　　sec(a) = 1/cos(a) t)G~ae(}*!  
;M5 h  
　　 {[a]T^g))  
2-ABmkg  
双曲函数 }xmp^ b.S  
@]uTjhpF  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 swiiXVr  
>b+:hUI"  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 i?a(Sh%_?  
;L87>e1_O  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ){ l{~W  
vY[]oE%?\  
　　公式一： DNJ"nlK/  
i} '6:d  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： "c6{|;|pJ  
7 $ /-o:  
　　sin（2kπ＋α）= sinα {CgnVN"k%  
)FLW[{Lx  
　　cos（2kπ＋α）= cosα HG})> oh  
*2{3PKfM+  
　　tan（kπ＋α）= tanα 2R?Ob=Z  
S*q +C*  
　　cot（kπ＋α）= cotα YN`hIs  
OY QSI/  
　　公式二： <G,5rw%  
& `C:  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： M'!l5v  
" q2p7aa  
　　sin（π＋α）= -sinα R hK&@sAQ  
S0ZJ;5 m  
　　cos（π＋α）= -cosα B~10J'4|Z  
H9&cLr  
　　tan（π＋α）= tanα 0DjExfEw  
h8t-Q#  
　　cot（π＋α）= cotα cbB%tPi  
!$ 66= ')  
　　公式三： $LSvj~Iu  
9<h<*',Mxa  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 4Hc w~ UgK  
~V9U<e0p:  
　　sin（-α）= -sinα  ZnU09t}  
n{dpO@B  
　　cos（-α）= cosα QlUxj65-  
rB>%zCufi@  
　　tan（-α）= -tanα a<Czb\M  
7~qlFy%  
　　cot（-α）= -cotα [)XaqH+X  
NNKa<HC(@  
　　公式四： NRi(w d(  
98IO.yu  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： PXpaN~7  
.Z]\Q:/  
　　sin（π-α）= sinα )`9;RhM%iK  
-^/7n~{6  
　　cos（π-α）= -cosα G#Oj_n  
+ASGsqW  
　　tan（π-α）= -tanα 0p%<^^  
dN*z7*Dh*  
　　cot（π-α）= -cotα Ai~(VY4  
N:=-yP{N  
　　公式五： ^a<fTF td  
&IwE:=  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： zRvnm~K6  
9tb=] J  
　　sin（2π-α）= -sinα ]ViN2i  
~_"#@w?[:  
　　cos（2π-α）= cosα CXEKx.t%  
EgQVTS)9  
　　tan（2π-α）= -tanα -B308ZbWz  
@/P7qH[#J  
　　cot（2π-α）= -cotα iF<"flf7K  
3+@XDEuL|  
　　公式六： pP#A >8  
L ;NY(aEU  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： }V~?A`Wr.n  
"qFr4Ovh@Q  
　　sin（π/2+α）= cosα a-y_fRv:  
Cq=tZAy  
　　cos（π/2+α）= -sinα &MMdF"<  
cQ0 [h$ Q  
　　tan（π/2+α）= -cotα g0h9& ~  
Q?Ld;%JE  
　　cot（π/2+α）= -tanα T5= x"  
9m`#Sy  
　　sin（π/2-α）= cosα QO5&q  
mv.Rd  
　　cos（π/2-α）= sinα aKo_@(j]Y  
QdY,jE~  
　　tan（π/2-α）= cotα Esrb l{y  
6+ayY0i'  
　　cot（π/2-α）= tanα gkiW:*  
iM-EoM2tc  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 8`5eubCV  
j5U.!&1c4  
　　cos（3π/2+α）= sinα YF//~y  
3>a#?v;  
　　tan（3π/2+α）= -cotα iIJNIu Y  
8|6;dwW  
　　cot（3π/2+α）= -tanα $DQ/'[w  
)`*K//<  
　　sin（3π/2-α）= -cosα [:%Mo Dj4;  
,l|+6Kn  
　　cos（3π/2-α）= -sinα u[5~/-TPjx  
(2cgfKwF %  
　　tan（3π/2-α）= cotα p@8GjI@8  
KWdD,*K  
　　cot（3π/2-α）= tanα |j?~x{ S  
0uK Z-TA5  
　　(以上k∈Z) OdHI*s`  
JA7mqIW1%  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 N&+{]Y  
Y2mItw}  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = b( Y!2cK  
Mk1hmOL<  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } P}7A+9s&O  
JH.o"xhr  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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