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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 !*lk4q^  
-1)$g=TcM  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. /b\7;<a  
,e 0Ny  
　　1、三角函数本质： x++H4hg  
Wb>|:^jyL  
　　三角函数的本质来源于定义 `;;.CmN  
/[2 MO5  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 "Vh`u  
x7bTB]2  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 4EX+y?x1  
Wb;6#t"]  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： a,#9a*N*  
p cqGor3v  
　　推导： M&#Nyt>FF  
2GN ug2Cp  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 7fbD72 SJ  
_n STB|cg?  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) I0?gc{  
yT;KA>mWY  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ~_ hg|4(  
atL0Y;pI-  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 \Svs;( []L  
2DP4#B  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） #>8K06s*y^  
A'RY*FEt  
　　[1] D`LX #C  
Z^`iK|  
　　两角和公式 j.e~:sm}Z  
iesrN}  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB e:jO uX  
;b~Lh   
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  |ueP,B@Lx  
{HMV4Cx-  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB gV1b50`  
nP4JFECq3  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB &z3,n(fXjt  
=JQP,V#Q  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) IUy#Vnv<0  
UO/Jg&]k  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Lk.T?-s$  
P(+:QX  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  49eg2t@  
lrn4]r5  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 7% _|o  
c^(T,(}n3  
倍角公式 #xP=G  
!\N|_S  
　　Sin2A=2SinA•CosA p qZ%Xp@  
vgAvA,VB  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 2hW<8wPr  
HtL g>F,"  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ! #{+! V  
%E3w]`pA#  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） T (Oa8R  
Y6b` }p  
三倍角公式 9kFO]  
Bf pj  
　　 VXmIuj tt  
Vto U'  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) .&J[|  
Z'4?Td,xl  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) h0G H;\@Z7  
-z0 3Q 8  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) gJob@nl  
o:a4nN  
三倍角公式推导 B NE(+0K  
_^XV 4Q  
　　sin3a M=-Dy  
ORU]C$6l  
　　=sin(2a+a) ,2Iakt*  
$D{ Vd,  
　　=sin2acosa+cos2asina T)q[UycU8  
3 \[altk  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 'MSntD|  
get5,{a9  
　　=3sina-4sin³a 3[[o{]gq  
ys@s+lRCfz  
　　cos3a WXtYHhL=*  
uyvP@~A  
　　=cos(2a+a) .zx\;a*9h  
<vW 8O  
　　=cos2acosa-sin2asina m_73N|&"  
$y'+@"vOv  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Y,<:D]S  
.7LZ#Y1K  
　　=4cos³a-3cosa S.}Isi  
9OO`LfrAeM  
　　sin3a=3sina-4sin³a W;zDJs"  
F8>%a( 7f  
　　=4sina(3/4-sin²a) T9oiY4V  
L|6xnYg  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a]  `{8S3   
#LByO Z  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) #5J,Os  
LR6^ -)  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) _|&5c_  
86,dq,]@t(  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]  rbft.N-  
FWvNQ  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) n}EwF(cV  
Fh,'(,U?  
　　cos3a=4cos³a-3cosa hu{h ai  
3vYuJR%V  
　　=4cosa(cos²a-3/4) S"$*`;G  
f u@e-WX/  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] @^r"#Co+;%  
= ^GOoUZo  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) U^Q+[nb0So  
e 5]t!9$h  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) zZNS_P%  
u`:7=2qQ  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} +Asi(F&&%  
BQ4/PZi  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) x6!;o-Is  
hT.&e @  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] _p!7QsB  
 "bm/71k  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] &  D-t p  
o$e0Z |%  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) **[9{S;  
bK3c%.R6No  
　　上述两式相比可得 Uhf    
.v Vh}f}9  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) o4boGcU}  
@\m}J\ p/  
半角公式 Pf@2;~b  
;]fdVL&@Q  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); C64C|dK  
V=UY#?94  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. #6:IVz!  
%4,!-.  
和差化积 * $H-\Q6'v  
B'RK1hm=W1  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] n:(N {-PG  
3mY|>.  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] P(gl.C  
_c:X_D  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Cinh+];p  
Tv72x$  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] wZOM:ku'K  
[H3|CCh4Zg  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) $>,#O6  
PDT6D/PAv  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)  Ls!\  
k=x\#~Zr  
积化和差 fg&M"VG1  
#AVGQN$*b  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 7GwWx?s{\c  
lYX\qnp  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] NThR!U X!  
]6:g5wv  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] obD9Ep)VK  
JK>]){X{'  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] w[9EpK  
V*u@\hJY  
诱导公式 I~2h~^TA=  
vP%%/7Oq  
　　sin(-α) = -sinα @h%Q%u  
gOqxJi*  
　　cos(-α) = cosα <fw|/f_(  
WuC,P/r}B  
　　sin(π/2-α) = cosα FL_m%j5b#  
k:pyd g0  
　　cos(π/2-α) = sinα PjnE8h'c  
ECBI^B!  
　　sin(π/2+α) = cosα ~Z-;A   
y\$ckQ)  
　　cos(π/2+α) = -sinα &loP'  
-< r@  
　　sin(π-α) = sinα !Xs]@zf9  
%TsFr8Mpa}  
　　cos(π-α) = -cosα LT5Bg3-  
WyYj{7/f7  
　　sin(π+α) = -sinα S P}r @XP=  
@dGYhJmR!  
　　cos(π+α) = -cosα P ^6[ux  
j`3K#Jc=  
　　tanA= sinA/cosA > (>,ba  
XRu\f,^3f  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα k\HHY{BF  
(G> Nh"*<  
　　tan（π/2－α）＝cotα g%> 7s)T  
0(kF!_@c  
　　tan（π－α）＝－tanα ;%IXea&o,  
V(a 1ql  
　　tan（π＋α）＝tanα "iMeY_.0$z  
yd{ /,dV  
万能公式  %AxT 5z  
EGoug8}N  
　　 =yN_I>~  
vz.Hg-cd  
其它公式 +8r OKj7  
'xu g78  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 O~?A(Xbl  
`tfLyKiqN  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 <ua5c_J  
96hJ`,|>C  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 F\P`'!W'D  
[uGk[Yc*  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 j  hN O  
I-+7(gg  
　　对于任意非直角三角形,总有 I L6o+Wx  
D<dx"3a?  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC S QgtpG@K  
 ~^jvEa  
　　证: +kaO)8kRc  
zwtKM0  
　　A+B=π-C S3{3;Nd9  
@a=, a*{  
　　tan(A+B)=tan(π-C) &he>jb|  
_o)fec]$_  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) .w W1XU^!  
TRZdBLFy  
　　整理可得 <.@ZJ:>  
? -QZ5X%  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC xSO`a0Ju  
4KIyAN  
　　得证 OCgYL!  
f u)V>r  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 lNz 9+`'  
7?. 3d*i  
其他非重点三角函数 O;DgWBYR  
U6'u e  
　　csc(a) = 1/sin(a) V#bNJ  
 (c=Chp)2  
　　sec(a) = 1/cos(a) |>GH9 2Go  
&5-(A4o$~  
　　 $ih/7  
<ln=24u  
双曲函数 e#r8n0`  
$P,D/PQ  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 \Bv*)~A}*t  
V?|Bk6:  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ORc:QZ  
\w!Q2uj~X  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) IH %O!O  
)KX"nT/f  
　　公式一： :67ra=A  
HS<Y hgV  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： BR 6hM?R  
*H%|ac]\4  
　　sin（2kπ＋α）= sinα y6k!>Gm  
]F CLUjK  
　　cos（2kπ＋α）= cosα rDl\nk<b  
Lo QUpYL  
　　tan（kπ＋α）= tanα 4Fs76 e\  
. I; };Qy  
　　cot（kπ＋α）= cotα \hd8u{M  
ttk1}/X  
　　公式二： DYgIX1"  
> -!|_;xD  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： S^Ea.+E;  
OLVp n  
　　sin（π＋α）= -sinα Srb{;Z4`  
#'ax89  
　　cos（π＋α）= -cosα 5P?@lo"  
XnGgAFF  
　　tan（π＋α）= tanα 7 D@65,  
Hxcc!Z&`=  
　　cot（π＋α）= cotα nted4%0  
c)4o@cd}  
　　公式三： zIjL0~  
?MJ-P|Fv$9  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： TF;!y36#  
wV TC`;x=  
　　sin（-α）= -sinα !zT(I_}3  
p xRbk[  
　　cos（-α）= cosα Q 5GbZA  
~"<TyF  
　　tan（-α）= -tanα .~N3*|2  
w7Emo q  
　　cot（-α）= -cotα N~2*=;|C  
oBZy,'  
　　公式四： <=7l| st  
Rv}CA1~  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：  JYiM>@  
BU|Q  
　　sin（π-α）= sinα q5& +(/+|  
66oBLk]9-  
　　cos（π-α）= -cosα ?<q hY92  
k-01zK:  
　　tan（π-α）= -tanα r 6amR690  
tMs[e$\(  
　　cot（π-α）= -cotα ^[iii65C1C  
v\vx(a^0  
　　公式五： _RaGB&J  
Izv:E 0  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： evXkwwe  
x 0:H?wR6g  
　　sin（2π-α）= -sinα J5@{E  
(dahr"  
　　cos（2π-α）= cosα qKu7n;8D  
&vfZ9t,  
　　tan（2π-α）= -tanα :l#ex 16v  
_Bl-6e^u  
　　cot（2π-α）= -cotα YszC. /  
n { `\?1  
　　公式六： fa/^ GjuFd  
.*uL~y/  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： | .CLbg  
TL7[KNS  
　　sin（π/2+α）= cosα p/-s;@g  
nTz}>DG  
　　cos（π/2+α）= -sinα mGR:s,tu  
pB?<g1  
　　tan（π/2+α）= -cotα ;(,7OD8?5  
K_Jxf  
　　cot（π/2+α）= -tanα 0+!*kb%  
QTpalbxfm  
　　sin（π/2-α）= cosα [ab}y|dQ  
0f; xYY'k  
　　cos（π/2-α）= sinα _[K6`e{r0  
x 5&4w  
　　tan（π/2-α）= cotα L`*yBHT"  
0[~fRB^  
　　cot（π/2-α）= tanα cRGKz;Ic  
v2&bt%  
　　sin（3π/2+α）= -cosα !k+Gi(P|  
YWMmyC  
　　cos（3π/2+α）= sinα P93kyCaZ  
j(q&IQESZ  
　　tan（3π/2+α）= -cotα g >A7d y  
so);mO  
　　cot（3π/2+α）= -tanα t "g]q  
3eD'=A`""F  
　　sin（3π/2-α）= -cosα bo!qy>O+n  
^@qvxC2!6  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ">!7$\3  
>]HY#)}DR  
　　tan（3π/2-α）= cotα %5>< Jd  
S;;_K{N*  
　　cot（3π/2-α）= tanα y;C NM9-  
% tTQ%)  
　　(以上k∈Z) kn/s<^ r  
4 n1rI  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 j(q{ k&  
xvB6q!$k)  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = jl&J $V#  
@ L+M>5k  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 4qC;y*Rg  
08 -zwUJZ_  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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